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bézout
من طرف basslam 2008-02-12, 10:51
Théorème de Bézout
Théorème — Étant donnés deux entiers relatifs a et b, si d est le PGCD de a et de b alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que
En particulier, deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs x et y tels que
Démonstration
Si a et b sont nuls, leur PGCD est nul et la propriété est vérifiée. On exclut ce cas dorénavant, en prenant par exemple a non nul.
Si , on montre que le plus petit élément strictement positif de A est le plus grand commun diviseur de a et b.
En effet est non vide (il contient la valeur absolue de a) donc contient un plus petit élément d0 = x0a + y0b. La division euclidienne de a par d0 a pour reste r qui est un entier naturel élément de A car s'écrit a − qd0. C'est un entier plus petit que d0, il ne peut donc pas appartenir à , donc r est nul. Cela signifie que d0 divise a. De même, d0 divise b. Donc d0 est un diviseur commun à a et b.
Enfin, soit d un autre diviseur commun à a et b. Comme d divise a et b, d divise x0a + y0b donc d divise d0. d0 est bien le plus grand diviseur commun de a et b et il existe deux entiers x0 et y0 tels que pgcd(a,b) = ax0 + by0.
Enfin, l'existence de deux entiers tels que d = ax + by n'assure pas que d soit le PGCD de a et b mais seulement que d est un multiple du PGCD. En effet, a et b étant des multiples de leur pgcd, ax + by est un multiple du PGCD donc d est un multiple du PGCD de a et b.
En revanche, l'existence de deux entiers x et y tels que ax + by = 1 assure que 1 est un multiple du PGCD de a et b. Cela ne se peut que si le PGCD de a et b est 1 donc seulement si a et b sont premiers entre eux.
Des entiers x et y convenables pour obtenir l'identité de Bézout peuvent être déterminés par l'algorithme d'Euclide étendu. De tels entiers ne sont cependant pas uniques.
Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et nous pouvons écrire
et aussi
.
Si le PGCD d est non nul, à partir d'un couple solution (x0,y0), il est possible d'obtenir toutes les autres solutions en faisant varier k dans :
Application aux équations diophantiennes
L'équation 12x + 42y = 18 admet aussi des solutions puisque 18 est un multiple du PGCD de 12 et 42. On peut trouver une solution particulière de cette équation en multipliant par 3 une solution particulière de l'équation 12x + 42y = 6. Cette solution particulière trouvée, l'ensemble des solutions est l'ensemble des couples (x0 − 7k,y0 + 2k) où k parcourt .
En revanche l'équation 12x + 42 y = 16 n'admet pas de solution car 16 n'est pas un multiple du pgcd de 12 et 42.
Applications
Le théorème de Bézout intervient dans la démonstration du théorème de Gauss.
Généralisation
Théorème — Étant donnés des entiers relatifs a1, ..., an, si d est le PGCD de a1, ..., an alors il existe des entiers relatifs x1, ..., xn tels que
En particulier, a1, ..., an sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement si il existe des entiers relatifs x1, ..., xn tels que .
En d'autres termes, quand les ai ne sont pas tous nuls, le PGCD de a1, ..., an est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à coefficients entiers, de a1, ..., an.
Identité de Bézout dans K[X]
L'identité de Bézout se généralise à l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur un corps K
Théorème — Étant donné une famille de polynômes de , si Δ est un PGCD de la famille , il existe une famille de polynôme de telle que
En particulier, les polynômes sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement si il existe une famille de polynômes de telle que .
Extension aux anneaux principaux quelconques
L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre anneau principal. C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, et d est un plus grand diviseur commun de a et b, alors il existe des éléments x et y dans A tels que :
Dans un anneau principal, un PGCD de a et b est un générateur de aA + bA, l'identité de Bézout est une conséquence de cette définition.
www.wikipedia.org
Théorème — Étant donnés deux entiers relatifs a et b, si d est le PGCD de a et de b alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que
En particulier, deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs x et y tels que
Démonstration
Si a et b sont nuls, leur PGCD est nul et la propriété est vérifiée. On exclut ce cas dorénavant, en prenant par exemple a non nul.
Si , on montre que le plus petit élément strictement positif de A est le plus grand commun diviseur de a et b.
En effet est non vide (il contient la valeur absolue de a) donc contient un plus petit élément d0 = x0a + y0b. La division euclidienne de a par d0 a pour reste r qui est un entier naturel élément de A car s'écrit a − qd0. C'est un entier plus petit que d0, il ne peut donc pas appartenir à , donc r est nul. Cela signifie que d0 divise a. De même, d0 divise b. Donc d0 est un diviseur commun à a et b.
Enfin, soit d un autre diviseur commun à a et b. Comme d divise a et b, d divise x0a + y0b donc d divise d0. d0 est bien le plus grand diviseur commun de a et b et il existe deux entiers x0 et y0 tels que pgcd(a,b) = ax0 + by0.
Enfin, l'existence de deux entiers tels que d = ax + by n'assure pas que d soit le PGCD de a et b mais seulement que d est un multiple du PGCD. En effet, a et b étant des multiples de leur pgcd, ax + by est un multiple du PGCD donc d est un multiple du PGCD de a et b.
En revanche, l'existence de deux entiers x et y tels que ax + by = 1 assure que 1 est un multiple du PGCD de a et b. Cela ne se peut que si le PGCD de a et b est 1 donc seulement si a et b sont premiers entre eux.
Des entiers x et y convenables pour obtenir l'identité de Bézout peuvent être déterminés par l'algorithme d'Euclide étendu. De tels entiers ne sont cependant pas uniques.
Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et nous pouvons écrire
et aussi
.
Si le PGCD d est non nul, à partir d'un couple solution (x0,y0), il est possible d'obtenir toutes les autres solutions en faisant varier k dans :
Application aux équations diophantiennes
L'équation 12x + 42y = 18 admet aussi des solutions puisque 18 est un multiple du PGCD de 12 et 42. On peut trouver une solution particulière de cette équation en multipliant par 3 une solution particulière de l'équation 12x + 42y = 6. Cette solution particulière trouvée, l'ensemble des solutions est l'ensemble des couples (x0 − 7k,y0 + 2k) où k parcourt .
En revanche l'équation 12x + 42 y = 16 n'admet pas de solution car 16 n'est pas un multiple du pgcd de 12 et 42.
Applications
Le théorème de Bézout intervient dans la démonstration du théorème de Gauss.
Généralisation
Théorème — Étant donnés des entiers relatifs a1, ..., an, si d est le PGCD de a1, ..., an alors il existe des entiers relatifs x1, ..., xn tels que
En particulier, a1, ..., an sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement si il existe des entiers relatifs x1, ..., xn tels que .
En d'autres termes, quand les ai ne sont pas tous nuls, le PGCD de a1, ..., an est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à coefficients entiers, de a1, ..., an.
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ax + by = d
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