LA DECROISSANCE RADIOACTIVE

La radioactivité est l'exemple type du fait que certains phénomènes naturels intéressent plusieurs domaines de la science. Le physicien nucléaire s'intéresse à la modification spontanée de certains noyaux d'atomes. Le mathématicien trouve là l'occasion d'appliquer concrètement certaines théorèmes relatifs aux solutions d'équations différentielles ou aux calculs des probabilités. Le spécialiste des sciences de la Terre s'intéresse à la radioactivité pour la datation des roches ou des organismes fossiles. Le spécialiste des sciences de la vie s'intéresse aux conséquences biologiques positives ou négatives des rayonnements radioactifs.

Dans les classes antérieures nous avons vu qu'un atome est constitué d'un noyau central et d'un nuage électronique.
1-1 Composition du noyau
·Par exemple, l'atome de chlore le plus abondant dans la nature possède un noyau central contenant Z = 17 protons positifs et N = 18 neutrons. Le nombre de nucléons est donc A = Z + N = 17 + 18 = 35. On symbolise ce noyau par .
·De façon générale le noyau d'un atome correspondant à un élément X constitué de A nucléons (Z protons et N neutrons) est noté .
La relation A = Z + N permet de calculer le nombre de neutrons présents dans le noyau.
·Le noyau contient des protons positifs qui se repoussent. En classe de première nous avons vu que la cohésion du noyau est assurée par l'interaction forte entre les nucléons.
Remarque : Z est également appelé le numéro atomique. C'est le numéro de la case du tableau périodique des éléments dans laquelle se trouve le chlore.

1-3 Les isotopes
·A un même élément chimique peuvent correspondre plusieurs atomes différents. Ces atomes ont le même cortège électronique mais ils diffèrent par leur noyau.
Des noyaux isotopes possèdent le même nombre de protons Z, mais des nombres de neutrons N différents.
Exemple 1 : A l'état naturel, l'élément chlore se présentent sous la forme de deux isotopes : et . Les atomes (également appelés atomes isotopes) correspondants à ces deux noyaux isotopes possèdent le même cortège électronique et ont donc des propriétés chimiques identiques. Leurs propriétés physique sont évidemment différentes.
Exemple 2 : Les trois isotopes les plus connus de l'élément carbone sont : , et .
·Aux 92 éléments qui existent sur Terre à l'état naturel correspondent 350 noyaux différents (290 sont stables, 60 sont radioactifs).
·Aux 112 éléments que l'on connaît dans les laboratoires de physique nucléaire correspondent plus de 3000 noyaux différents.

Becquerel (1850 - 1908) découvre en 1896 que certains sels d'uranium émettent des "rayonnements" pouvant traverser la matière et pouvant impressionner des plaques photos placées dans l'obscurité.
Progressivement, on a pu déterminer la nature de ces rayonnements.
2-1 Les quatre principaux types de rayonnement radioactif

·Les particules alpha ( a ^{+ +} ) sont des noyaux d'hélium positifs, notés . Ces particules, formés de deux protons et de deux neutrons, sont déviées légèrement par un champ magnétique ou électrique, car leur masse est importante. Leur pouvoir de pénétration est faible. Quelques centimètres d'air ou une mince feuille de papier d'aluminium suffisent à les arrêter.
·Les particules bêta moins ( b ^- ) sont des électrons, notés . Leur faible masse fait en sorte que ces particules sont facilement déviées par un champ électrique ou magnétique, dans le sens opposé de la déviation des particules alpha. Leur grande vitesse leur procure un pouvoir de pénétration supérieur à celui des particules alpha. Il faut plusieurs mètres d'air ou quelques centimètres d'aluminium pour les arrêter.
·Les particules ß⁺ sont des positons, encore appelés antiélectrons (antiparticules des électrons), notés. Ces positons ont la même masse que les électrons mais une charge électrique opposée. Leur pouvoir de pénétration propre est très faible car ils s'annihilent lorsqu'ils rencontrent un électron en donnant naissance à un rayonnement g.
L'émission de particules ß⁺ est exceptionnelle. Elle ne concerne que quelques noyaux artificiels.
·Les émissions de particules a ^{+ +} , b ^- et ß⁺ modifient la composition du noyau.
·Les rayons gamma g sont des rayonnements électromagnétiques de grande énergie et de faible longueur d'onde. Ces rayons gamma, contrairement aux particules alpha et bêta, ne changent pas la composition du noyau qui les émet. Leur pouvoir de pénétration est très élevé : ils peuvent s'enfoncer dans plus de trente centimètres de plomb. Ces rayons g sont très dangereux pour l'homme.
Tableau récapitulatif
On rappelle que la charge élémentaire est e = 1,600217733 ´ 10 ^{- 19} C (1).
En physique nucléaire, on utilise souvent l'unité de masse atomique 1 u = 1,6605402 ´ 10 ^{- 27} kg (2).

Emission	Nature	Symbole en physique nucléaire	Masse approchée (u)	Charge (e)
Particule a	noyau d'hélium ++		4,00150 u	+ 2 e
Particule b -	électron		0,000549 u	- e
Particule ß+	positon		0,000549 u	+ e
Rayon gamma	rayonnement électromagnétique	g	0	0

Remarque : A coté de ces quatre types de rayonnements au programme il existe d'autres transformations spontanées d'un noyau. Citons la capture électronique ou l'émission d'un ou deux protons (émissions récemment mises en évidence avec certains noyaux artificiels

)
2-3 Noyaux stables. Noyaux instables
·Un noyau stable garde indéfiniment la même structure. C'est le cas, par exemple, d'un des isotopes du carbone, l'isotope .
·Un noyau radioactif est instable. A une date inconnue, il se désintègre spontanément en un autre noyau, en émettant des particules aou b et, souvent, un rayonnement g. C'est le cas, par exemple, d'un autre isotope du carbone, l'isotope qui est radioactif. Il émet une particule b ^- et se transforme en un noyau d'azote :

+ (3)

Le noyau qui se désintègre, , est le noyau père. Le noyau obtenu, , est le noyau fils.
·On peut situer les noyaux stables et instables sur len diagramme (N, Z) ci-dessous.

.

3-1 Expériences préliminaires
Trois séances de travaux pratiques ont permis de réfléchir à l'évolution dans le temps d'un échantillon de matière radioactive.
·La première séquence a permis de mener en parallèle une série de comptages des désintégrations au sein d'un même échantillon de césium 137 et une analyse semblable portant sur des jets de dés. La demi-vie de 30 ans (voir plus loin) permet de considérer que toutes les mesures faites dans une séance de travaux pratiques ont été faites à la même date. Chaque mesure dure Dt = 50 s. Les fluctuations sur le nombre des désintégrations dépassent largement les incertitudes de mesures. Comme de nombreuses mesures ont été faites on a pu construire un diagramme en fréquence et caractériser le résultat par sa moyenne et son écart type. On a obtenu une distribution de Poisson.
On a alors envisagé comme hypothèse que la désintégration radioactive est un phénomène aléatoire :

· on ignore quand un noyau va se désintégrer.
· on ne peut attribuer à chaque noyau qu'une probabilité de se désintégrer dans la durée d'un comptage.

·La deuxième séquence a permis de s'interroger sur l'évolution d'une population (par exemple des arbres) qui ne se renouvelle pas en fonction du temps avec les hypothèses suivantes ?

a) Les arbres ne se renouvellent pas. Ils meurent à des â ges variables (certains peuvent vivre très longtemps). Une épidémie mortelle survient entre les dates t₁ et t₂. Certains survivent.
b) Les arbres ne se renouvellent pas et sont coupés lorsqu'ils atteignent l'âge de 10 ans.
c) Un démon malveillant se trouve dans un forêt comportant No = 500 arbres. Il décide de la mort des arbres en jouant aux dés. A intervalles de temps réguliers et rapprochés, il jette un nombre de dés égal au nombre d'arbres survivants. Il coupe alors autant d'arbres que ce qu'il y a de dès affichant le nombre 6.

Dans cette dernière hypothèse (c) on a trouvé une décroissance exponentielle du nombre d'arbres.
·La troisième séquence a permis d'étudier l'évolution d'une population de noyaux radioactifs (radon 220 de demi vie 55 s) et de comparer à l'un des modèles d'évolution de la population d'arbres. Le modèle satisfaisant est celui de "mort aléatoire sans vieillissement" correspondant à une décroissance exponentielle (modèle c).
3-2 Loi de décroissance
Nous venons de dire que l'expérience montrait que le nombre N de noyaux non désintégrés à l'instant t est lié au nombre de noyaux No initialement présents à l'instant to = 0 s par une relation exponentielle :

N = No e - l . t = No e - t / t (10)

l est la constante radioactive (en s ^{- 1}). Elle caractérise un radionucléide.

t = 1 / l est la constante de temps (en s ) (11)

La loi de décroissance des noyaux radioactifs a été établie expérimentalement en 1902 par Rutherford et Soddy.
Remarque :
La désintégration radioactive est un phénomène aléatoire. On ne peut pas, à l'échelle "microscopique", dire quand un noyau va se désintégrer. Néanmoins, à l'échelle macroscopique, on a pu établir cette loi d'évolution. N n'est pas connu exactement mais l'incertitude sur sa valeur est tout à fait raisonnable.
3-3 Activité d'un échantillon
L'activité d'un échantillon radioactif est égale au nombre de désintégrations qu'il subit par seconde :

A = - dN / dt (12) (N diminue, dN / dt est négatif, A est positif)

Par dérivation de (10) N = No e ^{- l . t}, on obtient :

A = - dN / dt = l No . e - ^{l . t} = l N (13)

A l'instant t = 0, l'activité initiale de l'échantillon est Ao = l No (14).
Reportons cette valeur l No = Ao (14) dans l'expression qui précède A = l No . e - ^{l . t} (13) :

A = - dN / dt = Ao . e - l . t (15) avec Ao = l No (16)

· A se mesure en becquerel (Bq).
·1 Bq correspond à une désintégration par seconde.

3-4 Demi-vie t _1/2
Le temps de demi-vie t _1/2 d'un nucléide radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre initial de noyaux radioactifs est divisé par deux.

N (t _1/2) = No / 2 (17)

Portons dans N = No e ^{- l . t} (10) :

No / 2 = No e ^{- l . t 1/ 2} soit :
e ^{- l . t 1/ 2} = 1 / 2 ou encore en prenant le logarithme népérien des deux cotés :
ln ( e ^{- l . t 1/ 2} ) = ln ( 1 / 2 )
- l . t _{1/ 2} = 0 - ln 2
t _{1/ 2} = ( ln 2 ) / l

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l(18) l . t 1/ 2 = ln 2 (18 bis)

La demi-vie d'un radionucléide est une caractéristique de celui-ci et sa valeur est extrêmement variable :

·Pour le polonium 212, la demi-vie est t _{1/ 2} = 3 ´ 10 ^{- 6} seconde
·Pour le thorium 232, la demi-vie est t _{1/ 2} = 1,4 ´ 10¹⁰ ans

Remarque 1 : comme t = 1 / l (11), on peut aussi écrire :

t 1/ 2 = ln 2 . t (19)

Remarque 2 : L'activité A = - dN / dt = Ao . e - ^{l . t} = l N (12) s'écrit à la date t _{1/ 2} :

A (t _{1/ 2}) = l N (t _1/2) = l No / 2
A (t _{1/ 2}) = Ao / 2 (20)

Au bout d'un temps égal à la demi-vie, l'activité d'un radionucléide est divisée par deux.