-

-  ::   :: 

      

   Mohamed 2007-05-12, 18:33



Mohamed 2008-11-02, 10:45 1
avatar
Mohamed



: 1266
: 28
Localisation : Paris
Emploi : etudiant en Classes Preparatoires aux Grandes Ecoles PCSI Lycee technique Raspail Paris
Loisirs : Internet Programmation Electronique
: 04/04/2007


:

    http://sciencemaths.c.la

    

:

    2008-10-19, 14:11


*** ***

: 2
Localisation : maroc
Emploi : lve
: 19/10/2008

    

:

   wailinho 2008-11-01, 16:01

where is the subject??

wailinho
*** ***

: 16
Localisation : tetouan
Emploi : tudiant
: 16/10/2008

    

:

   Omar_4 2008-11-02, 10:30

Ou le sujet ?!!!!!!!!!!!!!Mohamed
avatar
Omar_4



: 258
: 29
Localisation : Marrakech
Emploi : Etudiant
: 25/01/2008


:

    

:

   Mohamed 2008-11-02, 10:50

voila jai corrig le sujet dsol
!
pour enrechir le sujet on presente ici le cours en Franais
//////////////////


Introduction :


Le but de ce chapitre est d'introduire des notions de base de la thorie des ensembles comme prliminaire indispensable l'tude de l'algbre. Ce chapitre ne se veut en aucun cas une tude complte, bien trop complexe pour une introduction; nous n'tudierons notamment les notions "abstraites", comme les ensembles ou les cardinaux, que lorsque cela s'avrera utile pour les cours consacrs aux structures algbriques, et plus par leurs proprits que par leurs dfinitions.
I. Dfinitions



- Ensemble :
Un ensemble est dfini comme une collection d'objets, notion que nous considrerons par la suite comme intuitive. Toutefois, toute collection d'objets ne constitue pas un ensemble; nous verrons par exemple plus loin que "l'ensemble de tous les ensembles" n'existe pas. La dfinition d'un ensemble est prcise par des axiomatiques, la plus couramment utilise tant l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, ou ZF.
Nanmoins, dans la suite de ce cours, nous ne vrifierons pas systmatiquement que les ensembles considrs existent; les lecteurs interesss peuvent se reporter l'article sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel.
L'appartenance d'un objet un ensemble sera aussi considre comme une notion premire.


Notations :

  • On appelle ensemble vide, et on note Ø, un ensemble ne contenant aucun lment. Il n'existe qu'un seul ensemble vide (Voir dmonstration).
  • Si x est un objet quelconque, on appelle "singleton x" ou "ensemble rduit x", et on note {x}, l'ensemble ne contenant qu'un seul objet, qui est gal x.
  • Par extension, on peut dfinir un ensemble fini en numrant ses lments: {a, b, ..., z}
  • Si P(x) est un prdicat, on note {x;P(x)}, ou {x/P(x)}, ou {x,P(x)}, l'ensemble des lments x tels que l'assertion P(x) soit vraie. Attention: tous les prdicats ne peuvent pas dfinir un ensemble (ouvrir le cours sur l'axiomatique ZF).


Dfinitions :

  1. Soit E un ensemble; on appelle lment de E tout objet appartenant E, et on note xE.
  2. Dans la suite, on utilisera souvent la notion de famille d'objets; on appelle famille (Ei)iI, avec iI , EiE, l'application IE,iEi. Une famille est appele suite dans le cas particulier o I est l'ensemble N des entiers naturels, ventuellement priv d'un nombre fini d'lments.


- Parties d'un ensemble :

Dfinition :
On dit qu'un ensemble E est une partie d'un ensemble F, ou que E est un sous-ensemble de F, ou que E est inclus dans F, ou que F est un sur-ensemble de E, et on note EF, si tout lment de E est aussi lment de F.

Remarque :
Soit E un ensemble. Alors E et Ø sont des parties de E.

Dfinition et notation :
Soit E un ensemble; on note P(E) l'ensemble des parties de E.

Dfinition :
Soit E un ensemble. On appelle partie propre de E toute partie de E distincte de E et de Ø

- Runion, intersection, diffrence, diffrence symtrique :

Dfinitions :

Soient E et F deux ensembles.

  • On appelle runion de E et F, et on note EF, l'ensemble form par les lments de E et les lments de F. NB: un mme objet peut tre lment de E et de F; il ne figure alors qu'une seule fois dans EF.
  • On appelle intersection de E et F, et on note EF, l'ensemble des objets appartenant la fois E et F.
  • On appelle diffrence de E et F, et on note E\F, l'ensemble des lments de E qui n'appartiennent pas F.
  • On appelle diffrence symtrique de E et F, et on note EF, la runion de E\F et F\E.
  • Si E est une partie de F, on appelle complmentaire de E dans F, et on note Ec, ou cE, ou CFE, l'ensemble F\E.


Exemple :

Posons E={1;2} et F={2;3}. On a alors:

  • EF={1;2;3}
  • EF={2}
  • E\F={1}
  • F\E={3}
  • EF={1;3}


Remarques :

  • Les dfinitions de la runion, de l'intersection et de la diffrence symtrique sont symtriques en E et F.
  • Les dfinitions de la runion et de l'intersection se gnralisent une famille quelconque d'ensembles (Ei)iI:
    Ei={x ; iI , xEi}
    Ei={x ; iI , xEi}


Rgles de calcul :


Soient E, F, G des ensembles quelconques.

On a les proprits suivantes :

  • (EG et FG)(EF)G
  • (GE et GF)G(EF)
  • EFG\FG\E
  • EFE\GF\G
  • E=(EF)E\F

Voir dmonstration

Proposition :
Soient E et F deux ensembles; alors l'ensemble EF est l'ensemble des lments qui appartiennent E ou F, mais pas aux deux la fois:
EF=(EF)\(EF)

Voir dmonstration

Partition :


Soient E un ensemble et (Ei)iI une famille de parties de E. On dit que les Ei forment une partition de E si :

  • E=Ei
  • (i,j)IxI , ijEiEj
  • les Ei sont tous non vides

- Ensemble-produit :

Dfinition :

  • Soit (Ei)iI une famille d'ensembles. On note Ei, et on appelle ensemble-produit des Ei, l'ensemble des familles (xi)iI avec iI , xiEi.
  • Si les Ei sont en nombre fini, par exemple I={1,2,...,n}, on peut noter Ei=E1xE2x...xEn. Si de plus tous les Ei sont gaux, on peut crire ExEx...xE=En.


- Application :

Dfinitions :

  • Soient E et F deux ensembles. On appelle fonction de E dans F tout triplet f = (E,F,G), o G est une partie de l'ensemble-produit ExF vrifiant:
    ((x,y),(x',y'))G? , x=x' y=y'
  • Si (x,y)G, on note y=f(x); on dit que y est l'image de x par f (cette image est unique par dfinition), et que x est un antcdent de y par f.
  • On note la fonction f:EF,xf(x).
  • E est appel l'ensemble de dpart de f, F est l'ensemble d'arrive et G est le graphe de f.
  • L'ensemble D des lments x de E tels qu'il existe y dans F avec (x,y)G est appel ensemble de dfinition de f; l'ensemble {f(x);xD}, not f(D) est appel ensemble-image de D par f.
  • Plus gnralement, si A est une partie de E, on note f(A), et on appelle image de A par f, l'ensemble {f(x);xA}.
  • Rciproquement, si B est une partie de F, on note f-1(B) l'ensemble des antcdents par f des lments de B.
  • On dit que f est une application si son ensemble de dfinition est E.


Remarque :
Le point de vue ensembliste adopt dans cette dfinition est trs souvent mis de ct au profit des notions plus intuitives d'ensemble de dpart et d'arrive et de "formule"; c'est ce dernier point de vue que nous adopterons dans la suite de ce cours.

Notation :
On note FE l'ensemble des applications de E dans F.

Application identique d'un ensemble E :
Soit E un ensemble. On dfinit l'application identique de E (ou identit de E) par le triplet (E,E,D), o D est la diagonale de E, c'est--dire l'ensemble des couples (x,x), x dcrivant E. Cette application est note IdE. C'est l'application de E dans E dfinie par xE , IdE(x)=x.
Nous verrons que cette application joue un rle important dans la caractrisation des bijections; elle est galement utile en topologie.

Dfinition: stabilit :
Soient E un ensemble et f une application de E dans E; soit A une partie de E. On dit que A est stable par f si f(A)A.

- Composition des applications :

Dfinition :
Soient E, F, G trois ensembles, f une application de E dans F, g une application de F dans G. On appelle application compose de f par g l'application (gof):EG,x(gof)(x)=g(f(x)).

Proposition :
Soient E, F, G, H quatre ensembles, f une application de E vers F, g une application de F vers G, h une application de G vers H. On a (fog)oh=fo(goh).

Voir dmonstration

- Injection, surjection, bijection :

Dfinitions :

Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F.

  • On dit que f est une injection de E dans F (ou f est injective) si:
    (x,x')E? , f(x)=f(x') x=x'
  • On dit que f est une surjection de E dans F (ou f est surjective) si:
    yF , xE , y=f(x)
  • On dit que f est une bijection de E sur F (ou f est bijective) si f est la fois injective et surjective.


Caractrisation :

Avec les mmes notations, on a:

  • f est surjective si et seulement s'il existe une application g de F dans E telle que fog=IdF. g est alors injective.
  • f est injective si et seulement s'il existe une fonction g de F dans E telle que gof=IdE. g est alors surjective.
  • f est bijective si et seulement s'il existe une application g de F dans E telle que fog=IdF et gof=IdE. g est alors unique; elle est appele application inverse (ou rciproque) de f et note f-1. g est alors galement bijective, de rciproque f.


Voir dmonstration

Corollaire :
Il existe une injection de E dans F si et seulement s'il existe une surjection de F dans E.
Voir dmonstration

_________________
pour toutes les questions ladministration du site est ouvert tous
vous pouvez nous contactez par un message priv
tous ensemble pour un forum tres actif
Pour me contacter
Tlphone N 0033613995386
Merci de nous signaler chauque lien qui ne mache pas
..
mohamed
avatar
Mohamed



: 1266
: 28
Localisation : Paris
Emploi : etudiant en Classes Preparatoires aux Grandes Ecoles PCSI Lycee technique Raspail Paris
Loisirs : Internet Programmation Electronique
: 04/04/2007


:

    http://sciencemaths.c.la

    

:

   wailinho 2008-11-02, 12:53

merci

wailinho
*** ***

: 16
Localisation : tetouan
Emploi : tudiant
: 16/10/2008

    

      


-  ::   :: 

 
: