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المجموعات و التطبيقات PDF انجاز الاستاذ : بن لختير
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le sujet est ici desolé il nest pas clair avant
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le sujet est ici desolé il nest pas clair avant
عدل سابقا من قبل Mohamed في 2008-11-02, 10:45 عدل 1 مرات
Mohamed- مدير موقع العلوم الرياضية
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أين هو الموضوع لم يظهر
نور- *** عضو جديد *** مرحبا بك على منتديات العلوم الرياضية
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where is the subject??
wailinho- *** عضو جديد *** مرحبا بك على منتديات العلوم الرياضية
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Ou le sujet ?!!!!!!!!!!!!!Mohamed
Omar_4- نائب مشرف
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رد: المجموعات و التطبيقات
voila jai corrigé le sujet désolé
!
pour enrechir le sujet on presente ici le cours en Français
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Introduction :
!
pour enrechir le sujet on presente ici le cours en Français
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Introduction :
Le but de ce chapitre est d'introduire des notions de base de la théorie des ensembles comme préliminaire indispensable à l'étude de l'algèbre. Ce chapitre ne se veut en aucun cas une étude complète, bien trop complexe pour une introduction; nous n'étudierons notamment les notions "abstraites", comme les ensembles ou les cardinaux, que lorsque cela s'avérera utile pour les cours consacrés aux structures algébriques, et plus par leurs propriétés que par leurs définitions.
I. Définitions
- Ensemble :
Un ensemble est défini comme une collection d'objets, notion que nous considérerons par la suite comme intuitive. Toutefois, toute collection d'objets ne constitue pas un ensemble; nous verrons par exemple plus loin que "l'ensemble de tous les ensembles" n'existe pas. La définition d'un ensemble est précisée par des axiomatiques, la plus couramment utilisée étant l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, ou ZF.
Néanmoins, dans la suite de ce cours, nous ne vérifierons pas systématiquement que les ensembles considérés existent; les lecteurs interessés peuvent se reporter à l'article sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel.
L'appartenance d'un objet à un ensemble sera aussi considérée comme une notion première.
Néanmoins, dans la suite de ce cours, nous ne vérifierons pas systématiquement que les ensembles considérés existent; les lecteurs interessés peuvent se reporter à l'article sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel.
L'appartenance d'un objet à un ensemble sera aussi considérée comme une notion première.
Notations :
- On appelle ensemble vide, et on note Ø, un ensemble ne contenant aucun élément. Il n'existe qu'un seul ensemble vide (Voir démonstration).
- Si x est un objet quelconque, on appelle "singleton x" ou "ensemble réduit à x", et on note {x}, l'ensemble ne contenant qu'un seul objet, qui est égal à x.
- Par extension, on peut définir un ensemble fini en énumérant ses éléments: {a, b, ..., z}
- Si P(x) est un prédicat, on note {x;P(x)}, ou {x/P(x)}, ou {x,P(x)}, l'ensemble des éléments x tels que l'assertion P(x) soit vraie. Attention: tous les prédicats ne peuvent pas définir un ensemble (ouvrir le cours sur l'axiomatique ZF).
Définitions :
- Soit E un ensemble; on appelle élément de E tout objet appartenant à E, et on note xE.
- Dans la suite, on utilisera souvent la notion de famille d'objets; on appelle famille (Ei)iI, avec iI , EiE, l'application IE,iEi. Une famille est appelée suite dans le cas particulier où I est l'ensemble N des entiers naturels, éventuellement privé d'un nombre fini d'éléments.
- Parties d'un ensemble :
Définition :
On dit qu'un ensemble E est une partie d'un ensemble F, ou que E est un sous-ensemble de F, ou que E est inclus dans F, ou que F est un sur-ensemble de E, et on note EF, si tout élément de E est aussi élément de F.
Remarque :
Soit E un ensemble. Alors E et Ø sont des parties de E.
Définition et notation :
Soit E un ensemble; on note P(E) l'ensemble des parties de E.
Définition :
Soit E un ensemble. On appelle partie propre de E toute partie de E distincte de E et de Ø
- Réunion, intersection, différence, différence symétrique :
Définitions :
Soient E et F deux ensembles.
- On appelle réunion de E et F, et on note EF, l'ensemble formé par les éléments de E et les éléments de F. NB: un même objet peut être élément de E et de F; il ne figure alors qu'une seule fois dans EF.
- On appelle intersection de E et F, et on note EF, l'ensemble des objets appartenant à la fois à E et à F.
- On appelle différence de E et F, et on note E\F, l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à F.
- On appelle différence symétrique de E et F, et on note EF, la réunion de E\F et F\E.
- Si E est une partie de F, on appelle complémentaire de E dans F, et on note Ec, ou cE, ou CFE, l'ensemble F\E.
Exemple :
Posons E={1;2} et F={2;3}. On a alors:
- EF={1;2;3}
- EF={2}
- E\F={1}
- F\E={3}
- EF={1;3}
Remarques :
- Les définitions de la réunion, de l'intersection et de la différence symétrique sont symétriques en E et F.
- Les définitions de la réunion et de l'intersection se généralisent à une famille quelconque d'ensembles (Ei)iI:
Ei={x ; iI , xEi}
Ei={x ; iI , xEi}
Règles de calcul :
Soient E, F, G des ensembles quelconques.
On a les propriétés suivantes :
(EG et FG)(EF)G (GE et GF)G(EF) EFG\FG\E EFE\GF\G E=(EF)E\F
Voir démonstration
Proposition :
Soient E et F deux ensembles; alors l'ensemble EF est l'ensemble des éléments qui appartiennent à E ou à F, mais pas aux deux à la fois:
EF=(EF)\(EF)
Voir démonstration
Partition :
Soient E un ensemble et (Ei)iI une famille de parties de E. On dit que les Ei forment une partition de E si :
E=Ei (i,j)IxI , ijEiEj=Ø les Ei sont tous non vides
- Ensemble-produit :
Définition :
- Soit (Ei)iI une famille d'ensembles. On note Ei, et on appelle ensemble-produit des Ei, l'ensemble des familles (xi)iI avec iI , xiEi.
- Si les Ei sont en nombre fini, par exemple I={1,2,...,n}, on peut noter Ei=E1xE2x...xEn. Si de plus tous les Ei sont égaux, on peut écrire ExEx...xE=En.
- Application :
Définitions :
- Soient E et F deux ensembles. On appelle fonction de E dans F tout triplet f = (E,F,G), où G est une partie de l'ensemble-produit ExF vérifiant:
((x,y),(x',y'))G? , x=x' y=y' - Si (x,y)G, on note y=f(x); on dit que y est l'image de x par f (cette image est unique par définition), et que x est un antécédent de y par f.
- On note la fonction f:EF,xf(x).
- E est appelé l'ensemble de départ de f, F est l'ensemble d'arrivée et G est le graphe de f.
- L'ensemble D des éléments x de E tels qu'il existe y dans F avec (x,y)G est appelé ensemble de définition de f; l'ensemble {f(x);xD}, noté f(D) est appelé ensemble-image de D par f.
- Plus généralement, si A est une partie de E, on note f(A), et on appelle image de A par f, l'ensemble {f(x);xA}.
- Réciproquement, si B est une partie de F, on note f-1(B) l'ensemble des antécédents par f des éléments de B.
- On dit que f est une application si son ensemble de définition est E.
Remarque :
Le point de vue ensembliste adopté dans cette définition est très souvent mis de côté au profit des notions plus intuitives d'ensemble de départ et d'arrivée et de "formule"; c'est ce dernier point de vue que nous adopterons dans la suite de ce cours.
Notation :
On note FE l'ensemble des applications de E dans F.
Application identique d'un ensemble E :
Soit E un ensemble. On définit l'application identique de E (ou identité de E) par le triplet (E,E,D), où D est la diagonale de E, c'est-à-dire l'ensemble des couples (x,x), x décrivant E. Cette application est notée IdE. C'est l'application de E dans E définie par xE , IdE(x)=x.
Nous verrons que cette application joue un rôle important dans la caractérisation des bijections; elle est également utile en topologie.
Définition: stabilité :
Soient E un ensemble et f une application de E dans E; soit A une partie de E. On dit que A est stable par f si f(A)A.
- Composition des applications :
Définition :
Soient E, F, G trois ensembles, f une application de E dans F, g une application de F dans G. On appelle application composée de f par g l'application (gof):EG,x(gof)(x)=g(f(x)).
Proposition :
Soient E, F, G, H quatre ensembles, f une application de E vers F, g une application de F vers G, h une application de G vers H. On a (fog)oh=fo(goh).
Voir démonstration
- Injection, surjection, bijection :
Définitions :
Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F.
- On dit que f est une injection de E dans F (ou f est injective) si:
(x,x')E? , f(x)=f(x') x=x' - On dit que f est une surjection de E dans F (ou f est surjective) si:
yF , xE , y=f(x) - On dit que f est une bijection de E sur F (ou f est bijective) si f est à la fois injective et surjective.
Caractérisation :
Avec les mêmes notations, on a:
- f est surjective si et seulement s'il existe une application g de F dans E telle que fog=IdF. g est alors injective.
- f est injective si et seulement s'il existe une fonction g de F dans E telle que gof=IdE. g est alors surjective.
- f est bijective si et seulement s'il existe une application g de F dans E telle que fog=IdF et gof=IdE. g est alors unique; elle est appelée application inverse (ou réciproque) de f et notée f-1. g est alors également bijective, de réciproque f.
Voir démonstration
Corollaire :
Il existe une injection de E dans F si et seulement s'il existe une surjection de F dans E.
Voir démonstration
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