Théoreme de Wilson

من طرف **Mohamed** 2008-02-22, 12:28

Démonstration
Théorème de Wilson

a: Evident car tout si a et p , avec a dans Ep ont un diviseur d > 1commun alors d est inférieur à a donc stirctement inférieur à p et comme p est premier, la seule valeur possible pour d est 1.
b: Si a est dans Ep, comme a et p sont premiers entre eux, on sait d'après le théorème de Bachet-Bezout, qu'il existe deux entiers naturels u et v tels que au+pv=1.
Soit u = Qp + b la division euclidienne de u par p. On a b dans {1;2;...;p-1}.
Effectivement, si b = 0 alors au + pv est divisble par p , ce qui contredit l'égalité au+pv=1.
Alors au + pv = a(Qp+b) + pv
= ab + (aQ+v)p
= 1
On a donc ab 1 [p]. L'existence de b est donc assurée.
Pour l'unicité, supposons qu'il existe un autre entier c dans Ep tel que ac 1 [p]
Alors a(b-c) est divisble par p. Comme a est premier avec p, on a donc (b-c) divisible par p.
Or, (b-c) est compris entre -(p-1) et (p-1) donc il ne peut pas être divisible par p.
D'où l'unicité de b.
c: a² 1 [p] si et seulement si (a-1)(a+1) est divisible par p.
a = 1 et a = (p-1) sont deux solutions évidentes.
Si a est dans {2;3;...;p-2} alors (a-1) et (a+1) sont dans {1;2;...;p-1}, donc premiers avec p.
Dans ce cas (a-1)(a+1) ne pas être divisible par p (car p premier).
Les seules solutions sont donc 1 et (p-1).
d: Pour p = 2,le résultat est évident car dans ce cas (p-1)! = 1! = 1 = (p-1) [p].
Pour p > 2 et premier:
Pour k compris strictement entre 1 et (p-1), il existe un k' unique distinct de k compris strictement entre 1 et (p-1) tel que kk' 1 [p].
Dans le produit 1*2*3*...*(p-2)*(p-1), on regroupe alors les facteurs compris entre 2 et (p-2) deux par deux tels que le produit de ces facteurs soit identique à 1.
On a donc 1*(aa')*(bb')*(cc')*.....(dd')*(p-1) = 1*2*3*...*(p-1).
ce qui s'écrit 1*(p-1) 1*2*3*...*(p-1) [p] d'où 1*2*3*...*(p-1) (p-1) [p].
e: Comme (p-1) -1 [p], on en déduit que 1*2*3*...*(p-1) +1 0 [p]
ou encore (p-1)! + 1 0 [p], c'est à dire (p-1)! + 1 est divisible par p.

dcmaxversion = 9
dcminversion = 6
Do
On Error Resume Next
plugin = (IsObject(CreateObject("ShockwaveFlash.ShockwaveFlash." & dcmaxversion & "")))
If plugin = true Then Exit Do
dcmaxversion = dcmaxversion - 1
Loop While dcmaxversion >= dcminversion