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La fonction exponentielle

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La fonction exponentielle

مُساهمة من طرف Mohamed في 2008-01-09, 15:11

. DéfinitionIl existe une unique fonction f, dérivable sur , telle que f' = f et f(0) = 1.
On la nomme fonction exponentielle : elle sera notée exp.

conséquences
exp(0) = 1
exp est dérivable sur et exp'(x) = exp(x)
pour tout réel x, exp(x) > 0
la fonction exp est strictement croissante sur


II. Notation

On pose e = exp(1)
A l'aide de la calculatrice, e 2,718

résultat : e =


III. Propriétés algébriques

théorème :
Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp(y)
La fonction exponentielle transforme les sommes en produit.

On en déduit les propriétés suivantes :

<tr><td>exp(-y) =
exp(x - y) =
exp(nx) = (exp(x))n (n ) (n 1)
cas particulier :


IV. La notation ex

Par convention, on pose exp(x) = ex pour tout réel x.


V. Limites


1. propriétés asymptotiques

ex = +
ex = 0
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en - la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale (c'est-à-dire l'axe (Ox)).

= +
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en + une branche parabolique de direction (Oy).


2. approximation affine au voisinage de 0

On a : = 1
La fonction x 1 + x est la meilleure approximation affine de la fonction exp au voisinage de 0 et on écrit :
pour x proche de 0, on a : ex 1 + x



3. croissance comparée

Pour tout entier naturel non nul n, on a : = + et xn ex = 0.
Remarque :
A l'infini, l'exponentielle de l'emporte sur toute puissance de .


VI. Tableau des variations et courbe représentative


1. tableau des variations




2. courbe représentative




VII. Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction composée expu (notée eu) est dérivable sur l'intervalle I et on a :
(eu)' = u' × eu

exemple :
La fonction x 4x² + 7x est dérivable sur .
x e4x² + 7x est dérivable sur et sa dérivée est x (8x + 7)e4x² + 7x

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