العلوم الرياضية تنغير- محمد


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La fonction exponentielle

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La fonction exponentielle Empty La fonction exponentielle

مُساهمة من طرف Mohamed 2008-01-09, 15:11

. DéfinitionIl existe une unique fonction f, dérivable sur La fonction exponentielle R, telle que f' = f et f(0) = 1.
On la nomme fonction exponentielle : elle sera notée exp.

conséquences
La fonction exponentielle Pucetrait exp(0) = 1
La fonction exponentielle Pucetrait exp est dérivable sur La fonction exponentielle R et exp'(x) = exp(x)
La fonction exponentielle Pucetrait pour tout réel x, exp(x) > 0
La fonction exponentielle Pucetrait la fonction exp est strictement croissante sur La fonction exponentielle R


II. Notation

On pose e = exp(1)
A l'aide de la calculatrice, e La fonction exponentielle Environegal 2,718

résultat : e = La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_01


III. Propriétés algébriques

théorème :
Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp(y)
La fonction exponentielle transforme les sommes en produit.

On en déduit les propriétés suivantes :

<tr><td>exp(-y) = La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_03
exp(x - y) = La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_02
exp(nx) = (exp(x))n (n La fonction exponentielle Appartient La fonction exponentielle Z)La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_04 (n La fonction exponentielle Supegal 1)
cas particulier :
La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_05


IV. La notation ex

Par convention, on pose exp(x) = ex pour tout réel x.


V. Limites


1. propriétés asymptotiques

La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_06 ex = +La fonction exponentielle Infini
La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_07 ex = 0
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en -La fonction exponentielle Infini la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale (c'est-à-dire l'axe (Ox)).

La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_06La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_08 = +La fonction exponentielle Infini
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en +La fonction exponentielle Infini une branche parabolique de direction (Oy).


2. approximation affine au voisinage de 0

On a : La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_09 = 1
La fonction x La fonction exponentielle Fleche2 1 + x est la meilleure approximation affine de la fonction exp au voisinage de 0 et on écrit :
pour x proche de 0, on a : ex La fonction exponentielle Environegal 1 + x



3. croissance comparée

Pour tout entier naturel non nul n, on a : La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_06La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_10 = +La fonction exponentielle Infini et La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_07 xn ex = 0.
Remarque :
A l'infini, l'exponentielle de La fonction exponentielle Im_texifie l'emporte sur toute puissance de La fonction exponentielle Im_texifie.


VI. Tableau des variations et courbe représentative


1. tableau des variations


La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_11

2. courbe représentative


La fonction exponentielle Maths_t_fonction_exponentielle_cours_12

VII. Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction composée expLa fonction exponentielle u (notée eu) est dérivable sur l'intervalle I et on a :
(eu)' = u' × eu

exemple :
La fonction x La fonction exponentielle Fleche2 4x² + 7x est dérivable sur La fonction exponentielle R.
x La fonction exponentielle Fleche2 e4x² + 7x est dérivable sur La fonction exponentielle R et sa dérivée est x La fonction exponentielle Fleche2 (8x + 7)e4x² + 7x
Mohamed
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