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Systme linaire

      

Systme linaire

   Mohamed 2008-12-09, 02:22

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je prend l'initiation pour mettre des cours de sciences d'ingnieurs
que j'etudie maintenant en prepas
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Un systme linaire est un modle de systme qui applique un oprateur linaire un signal d'entre. Un systme linaire affiche typiquement des caractristiques et des proprits beaucoup plus simples que le cas gnral non-linaire.
C'est une abstraction mathmatiques trs utile en automatique, traitement du signal, mcanique et tlcommunications. Les systmes linaires sont ainsi frquemment utiliss pour dcrire un systme non linaire, soit en ignorant les petites non-linarits dans l'hypothse des petits mouvements (voir Systmes oscillants un degr de libert), soit en procdant une linarisation optimise dans le cas contraire.
Si le systme est rgi par le principe de superposition, on parle de systme linaire. Quelle que soit la nature mathmatique des quations qui le dcrivent, il peut tre caractris par sa rponse impulsionnelle ou sa fonction de transfert.
Si le systme est en plus invariant, alors on parle d'un SLI (Systme linaire invariant), qui est la base des mthodes de la rponse impulsionnelle et de la rponse frquentielle. Les quations diffrentielles des systmes linaires invariants se prtent bien l'analyse en utilisant la transforme de Laplace dans le cas continu, et la transforme en Z dans le cas discret
Principe de superposition
Un systme dterministe peut gnralement tre dcrit par un oprateur H qui associe l'entre x(t) fonction de t la sortie y(t). Les systmes linaires vrifient le principe de superposition :
Soit deux entres valides et et les sorties correspondantes :





alors un systme linaire doit vrifier :



Ce rsultat se gnralise alors un nombre quelconque d'excitations. En d'autres termes, si on sait dcomposer une excitation en une somme de fonctions simples, il sera ventuellement possible de calculer la rponse correspondante en additionnant des rponses individuelles calculables explicitement. Cette proprit mathmatique rend la rsolution des quations de modlisation plus simple que de nombreux systmes non linaires.
Fonction de transfert
Gnralits
Au lieu de calculer explicitement la rponse du systme dans le temps, il est souvent plus intressant de dterminer son contenu en frquences, le passage d'un domaine l'autre se faisant l'aide de la transformation de Fourier. On montre en mathmatiques que la transforme d'une convolution est simplement le produit des transformes. En utilisant les lettres majuscules correspondantes pour ces dernires, on obtient l'quation suivante dans laquelle H(ω) s'appelle fonction de transfert du systme :




Cas d'une excitation sinusodale [modifier]

L'nergie d'une sinusode est concentre sur une seule frquence. En termes de transforme de Fourier, elle est reprsente par un delta positionn sur cette frquence (une analyse plus rigoureuse conduit considrer deux deltas complexes). La formule prcdente transforme le delta d'entre en un autre delta correspondant une autre sinusode de mme frquence, ce qui donne la signification physique de la fonction de transfert.
D'aprs la linarit, celle-ci fait donc correspondre une somme de sinusodes une autre somme de sinusodes qui possdent les mmes frquences (au contraire, un systme non-linaire cre de nouvelles frquences). Dans le cas d'un signal priodique, il s'agit de sinusodes d'amplitudes finies. On considrera ci-dessous deux cas dans lesquels interviennent des sinusodes infiniment petites (voir ce propos Analyse spectrale).
Cas d'une excitation transitoire
La formule prcdente s'applique directement une telle excitation, souvent dite nergie totale finie, munie d'une transforme de Fourier.
Cas d'une excitation variance finie
La notion de fonction de transfert s'applique aussi, au prix de quelques modifications, une excitation par un signal variance finie ou puissance moyenne finie, possdant une densit spectrale. La notion de processus stochastique permet alors de dterminer de manire plus ou moins prcise les caractristiques de la rponse. Si on peut supposer que l'excitation est gaussienne, la linarit du systme entrane la mme proprit pour la rponse, ce qui fournit des outils pour une description statistique prcise
Autre expression de la fonction de transfert
Dans certains domaines, on s'intresse moins la rponse une excitation donne qu' la stabilit du systme. Dans ce cas, on utilise une expression lgrement diffrente dduite de la transformation de Laplace.

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