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Prepas coniques

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Prepas coniques

   Mohamed 2008-11-11, 10:00

attention a c'est le programme de prepas

Les coniques constituent une famille trs utilise de courbes planes algbriques, qui peuvent tre dfinies de plusieurs manires diffrentes, toutes quivalentes entre elles.
Dfinition purement gomtrique euclidienne [modifier]
Les coniques forment une famille de courbes planes rsultant de l'intersection d'un plan avec un cne de rvolution.

Intersection d'un plan et d'un cne de rvolution


Selon les positions relatives du plan et du cne, on obtient diffrents types de coniques :



  • les coniques propres, quand le plan n'est pas perpendiculaire l'axe du cne, et ne passe pas par son sommet. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cne :

    • si cet angle est suprieur l'angle d'ouverture du cne, l'intersection est une ellipse;
    • si l'angle d'inclinaison est infrieur l'angle d'ouverture, c'est une hyperbole;
    • et si les deux angles sont gaux, c'est une parabole.

  • les coniques partiellement dgnres :

    • l'intersection est un cercle quand le plan est perpendiculaire l'axe du cne;
    • l'intersection est une hyperbole quilatre quand l'angle d'inclinaison du plan est infrieur de 45 l'angle d'ouverture du cne;

  • et les coniques totalement dgnres, quand le plan contient le sommet du cne :

    • l'intersection est un couple de droites scantes, si l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cne est infrieur l'angle d'ouverture du cne ;
    • l'intersection est rduite une droite si ces angles sont gaux.
    • enfin elle est rduite un point si l'angle d'inclinaison est suprieur l'angle d'ouverture.






Dfinition purement projective [modifier]

Il s'agit de dfinir les coniques sans distances, sans angles, juste avec la rgle, le crayon et une poigne d'axiomes, dans la plus pure tradition de Blaise Pascal et Girard Desargues : voir Trait projectif des coniques.


Dfinition monofocale [modifier]

La dfinition monofocale des coniques est encore appele dfinition par foyer et directrice de ces coniques.


Dfinition [modifier]


Quatre coniques ayant mme foyer et mme directrice


Dans un plan (p), on considre une droite (d) et un point F non situ sur (d). Soit e un rel strictement positif.
On appelle conique de droite directrice (d), de foyer F et d'excentricit e l'ensemble des points M du plan (p) vrifiant :



o


d(M,F) mesure la distance du point M au point F
et


d(M,(d)) mesure la distance du point M la droite (d)
Les ellipses sont des courbes fermes et bornes, que les paraboles sont ouvertes et infinies, et que les hyperboles possdent deux branches symtriques par rapport au point d'intersection de leurs asymptotes communes.


Mise en quation [modifier]

Soit O la projection orthogonale du point F sur la droite (d). Dans le plan (p) on dfinit alors le repre orthogonal (O, (OF), (d)).
Soit p la distance de O F (p s'appelle le paramtre). Dans le repre dfini prcdemment F a pour coordonnes (p,0).
Pour un point M de coordonnes (x,y) on peut exprimer les distances prcdentes l'aide des deux formules suivantes :





ce qui implique en levant [1] au carr et en utilisant [2] et [3] :



soit aprs simplification :




types de conique


En fonction des valeurs de e on obtient plusieurs types de courbes :


  • Si 0 < e < 1 une ellipse
  • Si e = 1 une parabole
  • Si e > 1 une hyperbole
Les coniques dgnres s'obtiennent en modifiant les conditions prcdentes


  • Si F est sur D, on obtient :

    • Si e < 1 le point O (qui est aussi le point F);
    • Si e = 1 la droite perpendiculaire (d) passant par F;
    • Si e > 1 deux droites scantes ;

  • Si e = 0, le point O (qui est aussi le point F).
Il n'existe donc pas de dfinition de cercle par foyer et directrice. En revanche, si pe = r et si e tend vers 0 (ce qui augmente l'infini la distance entre le foyer et la directrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r


Dfinition bifocale [modifier]

L'ellipse peut tre dfinie comme le lieu des points dont la somme des distances deux points fixes appels foyers de l'ellipse est constante et gale une valeur fixe. Cette dfinition reste valable dans le cas du cercle, dans lequel les foyers sont confondus.
L'hyperbole peut tre dfinie comme le lieu des points dont la valeur absolue de la diffrence des distances deux points fixes appels foyers de l'hyperbole est constante et gale une valeur fixe.
La parabole n'a pas de dfinition bifocale.

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: Prepas coniques

   Mohamed 2008-11-11, 10:00

Dfinition analytique [modifier]



Cas affine [modifier]


En gomtrie analytique affine, les coniques sont les courbes planes algbriques du second ordre, c'est--dire les courbes planes dont les coordonnes cartsiennes x et y des points sont solution d'une quation polynmiale du second degr, de la forme :



avec l'un au moins des trois coefficients A, B ou C non nul pour que l'quation soit effectivement du second degr ( condition (1) ).
Suivant le repre utilis, l'expression de l'quation sera plus ou moins simple, mais restera toujours du second degr. Il est intressant de chercher le repre dans lequel l'expression de l'quation, dite quation rduite, sera la plus simple.
Pour cela, nous pouvons remarquer d'abord qu'il est toujours possible de rendre le coefficient B nul par une rotation du repre.
Nous regardons ensuite les coefficients A et C :



  • Si le coefficient C est lui aussi nul, A est alors forcment non nul ( condition (1) ), et une translation suivant l'axe des x permet ainsi d'annuler le coefficient D.






  • Si E est nul, en posant p = - F / A , l'quation se rduit :






Suivant le signe de p, nous obtenons 0 2 droites parallles.



  • Si E est non nul, une translation suivant l'axe des y annule F. En posant p = - A / E , nous obtenons l' quation cartsienne rduite d'une PARABOLE :








  • Si le coefficient A est nul, on obtient la situation symtrique de la prcdente o x et y voient leurs rles changs. On obtient donc encore :






  • Si D est nul, 0 2 droites parallles,
  • Si D est non nul, une PARABOLE d'quation rduite :








  • Si les coefficients A et C sont tous les deux non nuls, une translation suivant l'axe des x annule D, et une translation suivant les y annule E. L'quation se rduit donc :








  • Si A et C sont de mme signe :


- si F est lui aussi du mme signe, il n'y a pas de courbe correspondante;

- si F est nul, la courbe se rduit un point;

- si F est de signe oppos, nous pouvons poser a 2 = - F / A et b 2 = - F / C ; nous parvenons ainsi l' quation cartsienne rduite d'une ELLIPSE :








  • Si A et C sont de signes opposs :


- si F est nul, la courbe se rduit 2 droites scantes (= qui se croisent);

- si F est du signe de A, nous pouvons poser a 2 = F / A et b 2 = - F / C ; nous parvenons ainsi l' quation cartsienne rduite d'une HYPERBOLE :






- si F est du signe de C, nous pouvons poser a 2 = - F / A et b 2 = F / C ; nous parvenons ainsi l' autre quation cartsienne rduite d'une HYPERBOLE :







Cas projectif [modifier]

En gomtrie analytique projective, les coniques sont encore les courbes planes algbriques du second ordre, c'est--dire les courbes planes dont les points ont des coordonnes projectives X, Y et Z qui vrifient une quation polynmiale homogne du second degr de la forme (voir coordonnes homognes):



On travaille donc dans le plan projectif o un point gnrique a pour coordonnes homognes [X:Y:Z], et deux coordonnes homognes proportionnelles ([λXYZ] et [X:Y:Z], pour un certain λ) dsignent le mme point du plan. Notre plan projectif contient plusieurs exemplaires du plan affine ; notamment l'ensemble des points admettant des coordonnes homognes de la forme [X:Y:1].
On peut noter alors que pour Z = 1, on retrouve l'quation du cas affine. En fait, on a :


et
Une premire question qu'on se pose est alors : en se limitant l'image de la conique dans le plan affine ci-dessus dfini, quel type de conique affine retrouve-t-on? (et mme, retrouve-t-on bien une conique affine?). Pour ce faire, on regarde d'abord leur comportement l'infini (prsence d'asymptotes ou de branches paraboliques,...). Faire tendre x et y vers l'infini revient faire tendre Z vers 0. Pour Z = 0, l'quation prcdente se rduit :



Cette quation est appele quations aux directions asymptotiques, car le rapport Y / X donne alors la pente l'infini de la courbe, c'est--dire sa direction asymptotique.



  • Si C = 0 :






  • si B = 0 , l'quation a une solution X = 0 de multiplicit double, ce qui correspond une pente l'infini infinie, donc une direction asymptotique verticale double; la courbe est donc soit une parabole d'axe vertical, soit 0 2 droites verticales parallles;
  • si B est non nul, nous obtenons deux directions asymptotiques simples, l'une verticale, l'autre non; la courbe est donc soit une hyperbole, soit 2 droites concourantes;




  • Si C est non nul, en posant t = Y / X, l'quation devient :










  • si le discriminant de cette quation est strictement positif, nous obtenons 2 directions asymptotiques simples distinctes, et la courbe est soit une hyperbole, soit 2 droites concourantes;
  • si le discriminant de cette quation est nul, nous obtenons une direction asymptotique double, et la courbe est soit une parabole, soit 0 2 droites parallles;
  • si le discriminant de cette quation est strictement ngatif, la courbe n'a pas de direction asymptotique, donc pas de branches infinies, et la courbe, si elle existe, est soit une ellipse, soit un point.

Cependant, le vritable intrt de l'utilisation de la gomtrie projective est ailleurs. La classification qui a t faite dans le cas affine, et rinterprte dans le cadre projectif, se base sur des changements de coordonnes affines ; et qui peuvent s'interprter, le plan affine tant vu comme une partie du plan projectif, comme les changements de coordonnes projectifs qui laissent fixe la droite l'infini (c'est--dire les points du plan projectif de la forme [X,Y,0]). Il existe videmment beaucoup d'autres changements de coordonnes projectifs, et s'autoriser les utiliser va permettre d'assouplir grandement la classification des coniques. En fait, la classification des coniques projectives provient directement de celle des forme bilinaire symtrique sur l'espace vectoriel de dimension 3 sous-jacent notre plan projectif.


Cas barycentrique [modifier]

En gomtrie analytique barycentrique, les coniques sont toujours les courbes planes algbriques du second ordre, c'est--dire les courbes planes dont les points ont des coordonnes barycentriques λ, μ et ν qui vrifient une quation polynmiale homogne du second degr de la forme :



On peut identifier cette quation la prcdente, en posant :



On obtient alors, un coefficient multiplicatif prs :





Liens entre les dfinitions [modifier]



Dfinition monofocale et dfinition bifocale [modifier]

Les paraboles admettent un et un seul couple foyer/directrice au sens de la dfinition monofocale, et l'excentricit correspondante vaut 1.
Ellipses et hyperboles admettent exactement deux couples foyer/directrice au sens de la dfinition monofocale, et ceux-ci correspondent une mme valeur de l'excentricit. Ils sont symtriques par rapport au centre de l'ellipse ou au point d'intersection des asymptotes de l'hyperbole. Ces foyers sont les points intervenant dans la dfinition bifocale.


Dfinition gomtrique et dfinition bifocale [modifier]

Les foyers et les directrices des coniques peuvent tre dtermins gomtriquement dans le cadre de la dfinition des coniques comme intersection d'un cne et d'un plan ne passant pas par le centre de celui-ci.
Il existe, selon l'orientation du plan par rapport l'axe du cne, une (cas des paraboles) ou deux (cas des ellipses et des hyperboles) sphres tangentes la fois au plan et au cne; ce sont des sphres centres sur l'axe, situes dans un mme demi-cne (cas des ellipses) ou dans des demi-cnes opposs (cas des hyperboles).
Chacune de ces sphres dfinit l'un des foyers de la conique (c'est le point de tangence de la sphre et du plan) ainsi que la droite directrice associe (c'est l'intersection du plan de la conique et du plan contenant le cercle de tangence de la sphre et du cne).

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