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prepas Paramtrage

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prepas Paramtrage

   Mohamed 2008-11-11, 09:54

Attention ce cours est un cours de prepas


En mathmatiques, le paramtrage est un des procds fondamentaux de dfinition des courbes, surfaces, et plus gnralement des varits.
C'est ainsi que pour donner corps au concept trs gnral et trs vague de courbe, on introduit une notion plus concrte d'arc paramtr. Celle-ci s'inspire directement des problmes de cinmatique.
On tudie par exemple de la succession des points de l'espace occups par un point anim d'un mouvement dont on connat la loi en fonction du temps. Ainsi la donne d'une valeur du temps t permet la dtermination de la position M(t) au temps t. En fonction des problmes tudis, il sera judicieux de dcrire ce mme mouvement en changeant de paramtre de rfrence, en remplaant par exemple le temps par la distance totale parcourue.
La surface est un objet plus complexe, mais qui peut s'tudier en ayant recours deux paramtres simultanment : on obtient alors une nappe paramtre, pour laquelle la donne de u et de v dtermine un point M(u,v). Si on ne fait varier qu'un des deux paramtres, l'autre restant une valeur fixe, on obtient un arc paramtr. Une nappe paramtre peut en fait se concevoir comme forme d'une sorte de grillage dont les fils sont des arcs paramtrs. Il y a galement une notion de changement de paramtre pour les surfaces, mais il faut passer d'un couple (u,v) de paramtres un autre couple (u',v').
Plus gnralement, le nombre de paramtres est li la notion de dimension de l'objet gomtrique, gnralisant le concept de dimension de l'algbre linaire. La dfinition formelle des paramtrages, changements de paramtres, fait intervenir le calcul diffrentiel.
L'objectif de la gomtrie diffrentielle est de recenser un certain nombre de notions et grandeurs qui sont invariantes par changement de paramtres. Dans le cas d'un arc paramtr, par exemple, on dira qu'une telle notion ou grandeur relve non plus seulement de l'arc paramtr mais d'un objet mathmatique nouveau, l'arc (ou la courbe) gomtrique.
Les arcs paramtrs [modifier]


Dfinition Un arc paramtr de classe dans l'espace vectoriel E de dimension finie est la donne




  • d'un intervalle I o variera le paramtre rel t
  • d'une fonction f de I dans E, de classe
Dans un repre donn de E, la fonction f a des composantes . Par exemple voici un paramtrage du cercle unit du plan (parcouru plusieurs fois) :


.
Dans la pratique une fonction f peut avoir pour domaine une runion d'intervalles disjoints ; on tudiera alors sparment chacune des branches correspondantes de la courbe (cf connexit).
En gomtrie diffrentielle on ne considre pas d'arcs qui seraient seulement continus. L'exemple de la courbe de Peano montre que leur comportement peut tre trs complexe.


Point de paramtre t et point gomtrique, multiplicit [modifier]

Il est tout fait possible que pour deux valeurs distinctes t et t' on ait f(t)=f(t'). On dira dans ce cas qu'on a affaire un point multiple de l'arc. Pour grer ce genre de situation, il convient de distinguer


  • le point de paramtre t, expression qui dsigne la donne conjointe de t et du point f(t)
  • le point gomtrique correspondant qui est un point de E.

La lemniscate de Bernoulli


Ainsi dans le cas d'un point multiple, deux points de paramtres distincts ou plus concident avec le mme point gomtrique. On parle ventuellement de point double, triple, ou de multiplicit k si on connat le nombre exact de valeurs du paramtre qui donnent ce point gomtrique. Si l'arc n'a pas de point multiple (f injective), il est dit simple.
Dans le cas particulier o la fonction est priodique, on dit que la courbe est ferme. On prfrera alors l'tudier sur une priode, et parler de multiplicit des points relativement une priode. Ainsi la lemniscate de Bernoulli



est ferme (2π priodique) et admet l'origine pour point double (t=0,π). Les courbes fermes ont un certain nombre de proprits intressantes qu'on trouvera dans l'article correspondant.


Changement de paramtre [modifier]

On se donne un arc de classe , sous la forme d'un intervalle I et d'une fonction f de I dans E. La trajectoire est l'ensemble f(I) des points gomtriques. Mais la mme trajectoire peut tre parcourue de multiples faons.
Ainsi si est une fonction d'un intervalle J dans I de classe , alors est lui aussi un arc . Pour parcourir la mme trajectoire, et passer le mme nombre de fois aux mmes points dans le mme ordre, on impose que est une bijection strictement monotone.
En fait il faut plus : pour assurer la compatibilit avec le calcul diffrentiel, on dira que est un paramtrage admissible de l'arc si est un -diffomorphisme. Les deux arcs, avant et aprs reparamtrage, sont dits -quivalents. On appelle arc gomtrique toute classe d'quivalence pour cette relation.
En reprenant le changement de paramtrage , on peut crire la formule de drivation des fonctions composes reliant les vecteurs drivs des deux arcs en deux points correspondants



Les deux vecteurs drivs sont colinaires avec un rapport de colinarit non nul.


Exemples d'invariants [modifier]

Certaines notions sont inchanges par changement de paramtrage


  • la trajectoire : l'ensemble des points parcourus est le mme
  • la notion de point rgulier (vecteur driv non nul) : deux points correspondants sont tous les deux rguliers, ou alors tous les deux des points d'arrt (les drives s'annulent).
  • la notion de tangente (comme limite de scantes), ce qui est compatible avec la proprit prcdente
  • la longueur de l'arc entre deux points d'une part, et deux points correspondants d'autre part.
En consquence, on dira que ces notions peuvent tre tendues l'arc gomtrique.
Mais certaines proprits font intervenir l'orientation de l'arc, c'est--dire le sens de parcours. Dans ce cas il faut distinguer deux types de changements de paramtres


  • soit a une drive strictement positive en tout point, et on dit qu'il conserve l'orientation.
  • soit a une drive strictement ngative en tout point, et on dit qu'il renverse l'orientation.
Dans le premier cas (respect de l'orientation), le changement de paramtrage conserve d'autres notions


  • les demi-tangentes
  • l'abscisse curviligne
  • les lments du repre de Frenet et la courbure
On peut dfinir la notion d'arc gomtrique orient en se limitant des changements de paramtrages respectant l'orientation.


Paramtrer par l'angle polaire [modifier]

On se place dans le plan euclidien orient ramen un repre orthonormal. Une faon frquente de dfinir les courbes est de donner leur quation polaire r fonction de θ : r=h(θ). Il s'agit d'un cas particulier d'arc paramtr puisqu'on peut crire x(θ)=h(θ).cos(θ),y(θ)=h(θ)sin(θ).
On peut se demander quelle condition, pour un arc donn, on peut trouver une telle quation polaire. On se contente de traiter le cas des arcs qui ne passent pas par le point O lui-mme, car celui-ci apporte des difficults supplmentaires.
Proprit : passage une quation polaire paramtrique
Si (I,f) dfinit un arc qui ne passe jamais par O, alors il existe des fonctions r et θ, galement , telles que pour tout t, f(t) a pour coordonnes polaires r(t) et θ(t).
Dmonstration : par application du thorme de relvement.

Proprit : condition de passage une quation polaire
Avec les mmes hypothses si la fonction θ est un diffomorphisme, on peut prendre θ pour paramtre et obtenir ainsi une vritable quation polaire.


Nappes paramtres [modifier]



Dfinition [modifier]

Une nappe paramtre de classe dans l'espace vectoriel E de dimension finie est la donne


  • d'un domaine U (en gnral suppos connexe) de ℝ2 o variera le couple de paramtres rels (t,u)
  • d'une fonction f de U dans E, de classe
Dans un repre donn de E, la fonction f a des composantes x(t,u),y(t,u),z(t,u)... Par exemple voici un paramtrage d'un cne de rvolution de l'espace (parcouru plusieurs fois) : x(t,u)=u* cos (t),y(t,u)=u*sin(t),z(t,u)=u pour t,u variant dans ℝ.


Courbes traces sur une nappe, plan tangent [modifier]

Quand on se contente de faire varier un seul des deux paramtres, on obtient des arcs paramtrs tracs sur la nappe. Dans l'exemple du cne, si u varie seul avec t fix on obtient une droite parcourue vitesse uniforme. Si t varie avec u fix, c'est un cercle.
Ces courbes permettent de dfinir la notion de plan tangent : on se place en (t0,u0), on regarde toutes les courbes traces sur la surface et passant par ce point, et l'ensemble de leurs vecteurs tangents. S'ils forment un plan, c'est le plan tangent.
Une condition suffisante simple pour cela est que le point soit rgulier, c'est--dire sont non colinaires.
On peut aussi le dire sous la forme : un point est rgulier quand la diffrentielle de f en ce point est injective.


Changement de paramtres [modifier]

Le changement de paramtres sera cette fois un -diffomorphisme de U dans V autre domaine de ℝ2. La notion de respect d'orientation sera lie cette fois au signe du jacobien de ce diffomorphisme.
On parlera de nouveau de nappes -quivalentes quand elles se correspondent par changement de paramtrage.
Les notions de point rgulier, de plan tangent, d'aire, de courbure de Gauss font partie des invariants qu'on peut citer.


Gnralisation L'extension p paramtres permet de formaliser la notion de varit de dimension p trace dans un espace de dimension n. On reprend, mutatis mutandis les dfinitions de la dimension 2.



  • quand l'application f a une diffrentielle injective (f est une immersion), on dit que la varit est immerge dans E. Ceci gnralise la notion d'arc rgulier, de nappe rgulire. Et on peut alors dfinir le sous-espace tangent.


  • il faut des contraintes supplmentaires pour que cette immersion devienne un plongement, permettant de parler de sous-varit de E.
Et de la mme faon, il y a une notion de changement de paramtrage par diffomorphisme qui conserve les notions d'imersion, de sous-espace tangent.

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